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數學並非無用
只是太超前
國慶節假期快結束了，超模君又可以開心地回到工作崗位上了。
我熱愛學習，也熱愛工作。
這兩天，超模君又聽到了「哼，數學除了摧殘我們這些祖國的花朵之外，然而並沒有什麼卵用。」
超模君表示：看來最近數學故事講得少，是時候得拿些真材實料來摧殘一下祖國的花朵。。。
充滿智慧的凝視
於是，超模君又開始要講故事了：
概率論
在文藝復興時期，義大利出現了一位大學者，卡爾達諾（Girilamo Cardano），他精通數學、物理、醫學、哲學、星占學。
有趣的是，這位百科全書式的學者十分好賭，並且賭術不高明，因此，他也輸掉了大把的家產。
不過，他喜歡賭博，也喜歡研究賭博，因此寫下《論賭博遊戲》一書，於1663年出版。這本書被認為是第一部概率論專著，開創了現代概率論研究的先河，也為如今的精算學做了鋪墊。
所以大家千萬不能跟數學好的賭博，因為輸慘了，分分鐘會寫成一本巨作！
賭徒常有，而會數學的賭徒不常有！
在一個世紀之後，法國賭徒梅內在他常玩的兩個遊戲中發現了一些問題（愛思考的賭徒運氣都不會太差）。
在他常玩的兩個遊戲里：
一個是連續擲4次色子，看能否扔出一個6；
一個是擲兩個色子，連續24次，看能否扔出2個色子都是6的情況。
最開始，梅內認為兩種遊戲方式贏錢的概率是相等的，但經過多次輸錢後，他發現了不同：
第一個遊戲他贏多輸少。。。
第二個遊戲卻是輸多贏少。。。
於是，梅內向朋友數學家帕斯卡求助。。。
趕緊找個數學好的做朋友
就在1654年，帕斯卡與費馬探討了這個問題（為概率論的發展打下了基礎）。
隨著1657年荷蘭數學家惠更斯《論賭博中的計算》的發表，成為了第一部公開發表的概率論著作。
17世紀晚期，雅各布·伯努利發現，概率論遠遠不止用於賭博，他發現了一個神奇而又常見的情況：
大家可以回想一下：
當我們隨機擲一次色子，每個數字出現的概率都是1/6，但連續擲6次色子並不能確保每個數字都能出現。
他將他的思考和研究記錄下來，寫成了《猜度數》一書（此書到他死後的1713年才出版）。
他提出了伯努利實驗，是指在同樣的條件下重複地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗。由於樣本點不一定是等概率的，許多實際問題都可歸結為這種模型。
更重要的是，伯努利還提出了大數定理：指在一個隨機事件中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率越趨近於一個穩定值。
這個定律在保險公司得到了充分利用（保險公司的朋友趕緊來關注）。
在此之前，保險公司只敢賣出有限的保單，因為他們認為賣出的保單越多，賠付的風險看上去就越高，這可能會導致公司垮掉。
而在得知大數定理後，也就從18世紀初開始，保險公司終於開始大肆推銷保險。因為根據大數定理，可以知道：保單賣得越多，賠付的概率就越趨於穩定，風險是可控的。
事實上，經濟學裡的最優決策以及穩定增長問題都離不開概率論。
在物理學、化學反應動力學、生物學上，也會運用到概率模型來解決問題。
隨機引起的流體力學的湍流
如今，很多服務系統，如電話通信，船舶裝卸，機器損修，病人候診，紅綠燈交換，存貨控制，水庫調度，購貨排隊等，這些涉及「排隊過程」的問題都可用概率模型來描述，進而進行合理的安排。
在空間科學和工業生產的自動化技術中需要用到資訊理論和控制理論，而研究帶隨機干擾的控制問題，就要用到概率論方法。
概率論活躍在各個領域，正如拉普拉斯曾說過的這句話：生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率的問題。
超模君：等下，我先去買注彩票！
最密堆積
就在剛才去買彩票的時候，超模君路過一個水果攤，老是佔道經營，那是不是解決空間利用率問題，他們就不會再佔用道路了。。。
心想：假如在你面前放著一堆橙子，該如何進行擺放才能最省空間的？
憑直覺，任何人都會說：第一層橙子彼此相鄰的凹處放第二層橙子。
但這種直覺對嗎？如果是對的話，那誰能給出證明呢？
趕緊回去翻書：原來在1611年，開普勒就提出過：水果商堆橙子的辦法對空間的利用率是最高的，但卻沒辦法證明（以前數學家的偉大之處，總是能留一些神奇的猜想）。
軍隊堆垛炮彈
在此後的400多年裡，眾多數學家開展了對「開普勒猜想」的證明。
直到1998年，美國匹茲堡大學的托馬斯·海爾斯（Thomas C. Hales）終於對這個「直覺」問題給出了證明：在箱子里堆放大小一樣的球，用「面心立方體」的堆積方式（即上層圓球安放在下一層圓球中間的各個凹處）可以使空間利用率最高。
也就是說，水果商憑藉直覺跟經驗，在箱子里裝橙子的辦法一直都是最有效的。
誰也沒想到，堆一堆橙子竟然發現這樣的規律：
這些有關最密堆積的研究成果促進了現代通訊技術的發展，成為了信道編碼和糾錯編碼研究的核心內容。
類似的，還有這個「牛頓數問題」。
牛頓數，「Kissing Number」，是與一個ｎ維球外切的等維球的個數。
在17世紀，牛頓和大衛·格里高里一直在爭論，到底三維的牛頓數是多少。
如下圖，很明顯可以看出二維的牛頓數是6，牛頓認為三維的牛頓數是12，卻沒有證明。
直到1953年，科特·舒特和范·德·維爾登才終於證明了三維的牛頓數確實是12。
三維（牛頓數是12）
2003年，奧萊格·穆辛證明了4維的牛頓數是24。
至於5維的牛頓數是多少，目前只知道它在40到44之間。
早在1979年，美國明尼蘇達大學的安德魯·奧德里茲克證明了8維的牛頓數是240，24維的牛頓數是196560。
事實上，8維和24維的牛頓數的證明比三維的牛頓數簡單，它們跟超密集的球體填充問題有關：8維E8點陣和24維Leech點陣。
這些看似無用的發現，其實跟互聯網的發展密不可分。
20世紀60年代，一位叫戈登·朗的工程師在設計數據機系統時，將信號當做是一個個包含信息的「小球」，只有這些「小球」被儘可能緊密的排列起來，才能達到信息量最大化。
經過十幾年的研究，他終於發明了採用E8堆積法傳遞8維信號的數據機。這項技術可以通過電話線進行信號傳播，因此不必重新設計信號電纜，大大促進了互聯網的發展。
超模君：後來把方法告訴老闆，老闆說：哦！
拓撲學
1736年，29歲的歐拉（Leonhard Euler）向聖彼得堡科學院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的七橋問題，證明了不可能在所有橋都只走一遍的情況下，走遍連接河中心兩個小島和兩岸的所有七座橋。
歐拉大神總是在習以為常的情況下，發現各種超乎想像的次元！
事實上，歐拉的解決方法是忽略了橋的長度和島的大小，將島和橋簡化成了平面上的點與線。
是的，歐拉的發現為後來的數學新分支——拓撲學的建立奠定了基礎。
1847年，李斯亭（Johann Benedict Listing）將歐拉的才智進一步發展，對於這一新的數學領域，引入了「拓撲學」的概念。
數學家們覺得拓撲學十分有趣，在此後的一個多世紀，數學家們進行了大量關於拓撲學應用的研究。但是，這只是在研究，並沒有將它進行實際應用。
如果想看看到底有多有趣，歡迎移步：《如何讓你在10分鐘內了解拓撲變換》（傳送門）。
直到20世紀90年代，拓撲學的應用終於開始真正的發展。
現在，幾乎所有領域離不開拓撲學了。
生物學家通過扭結理論理解DNA的結構；
計算機學家通過扭結在一起的同軸電纜製造量子計算機；
機器人科學家也用相同的理論使機器人走路；
醫生以同調論為基礎為病人做大腦掃描；
宇宙學家以此來理解銀河系的形成；
通信公司運用拓撲學來決定如何布置基站進行網路覆蓋；
手機的照相功能也是通過拓撲學原理實現的；
還有，超模君用莫比烏斯帶做了個戒指表白，然後被拒。
超模君：又說起傷心事，下次要學學薛定諤！
事實上，即使是那些理論性最強的數學研究，也可能在幾十年後，在一些意想不到的領域中產生作用。
確實，數學成果從應用，再到產生實際效益，其時間並不可知，但他的價值卻一直在那裡，或許這也是數學的魅力。
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