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如何證明廣場上總存在一個沒被人盯著的間諜?

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題目

推理

1、下一個圖形是什麼?

2、小 A 和小 B 玩遊戲。小 A 取出一副撲克牌並去掉大小王,剩下紅色的牌和黑色的牌各 26 張。

洗好牌後,小 A 依次翻開每一張牌,讓小 B 看到牌的顏色。小 B 可以在任意時刻打斷小 A ,並打賭「下一張牌是紅色」。

如果下一張牌真是紅色,小 A 給小 B 一塊錢;如果下一張牌是黑色的,小 B 輸給小 A 一塊錢。

注意,小 B 必須要在某個時刻下賭注,並且機會只有一次;如果他一直沒打斷小 A ,則默認他賭最後一張牌是紅色。

小 B 的最佳策略是什麼?在這種策略下,他有多大的概率獲勝?

計算

3、一張長 10 厘米、寬 9 厘米的長方形紙張可以裁剪成兩個寬 1 厘米的、一模一樣的螺旋形紙帶。那麼,每個螺旋形紙帶的周長是多少厘米?

4、廣場上站著 99 個間諜,間諜與間諜之間的距離互不相等。每個間諜都盯著離自己最近的那個間諜看。

證明:總存在一個沒被人盯著的間諜。

填圖

5、24 根火柴棒擺成了如圖所示的形狀。這些火柴棒組成了大大小小一共 14 個正方形。

請您:

(1) 去掉兩根火柴棒,使得圖中只剩下 7 個正方形

(2) 去掉三根火柴棒,使得圖中只剩下 4 個正方形

(3) 去掉四根火柴棒,使得圖中只剩下 2 個正方形

6、像左圖中的示例那樣,只用兩種不同長度的線段,把圖中的 14 個點兩個兩個一對地連接起來。

答案

推理

1、答案:

這些圖形分別是字母 A 到 J 的「輪廓」——假設我們在從 A 到 J 的每個字母外面拉上一圈橡皮筋,鬆手之後橡皮筋就依次變成了圖中的這些形狀。

2、答案:

乍看上去,小B似乎有很多方法能保證他的獲勝概率大於 50% 。比方說,他可以等到黑牌都翻完了時賭下一張牌是紅色。

不過別忘了,黑牌先翻完不是總能發生的。如果紅色的牌先翻完,他就必輸無疑了。

因此,採取這種策略並不會增加小 B 獲勝的概率。

事實上,這是一個完全公平的遊戲,小 B 沒有所謂的「最佳策略」。

小 B 的任何一種策略效果都完全一樣—— 50% 的概率獲勝, 50% 的概率輸掉。

為了證明這一點,讓我們來考慮這場賭博遊戲的一個修改版:

小 A 把牌一張一張地翻開,小 B 可以在任何時候打斷小 A ,並賭最後一張牌是紅色。

顯然,在剩下的牌裡面,第一張是紅色與最後一張是紅色的概率完全相同。

因此,把原遊戲中的策略應用到新的遊戲中來,獲勝的概率不變。

但很容易看出,新規則下的遊戲是一個非常無聊的遊戲,因為不管小 B 用什麼策略,獲勝的概率總是 50% ——最後一張牌是紅色,小 B 就贏;最後一張牌是黑色,小 B 就輸。

計算

3、答案: 92 厘米。

我們可以用剪拼法把紙帶的拐角「扳直」,並且保持它的周長和面積不變。

這樣的話,整個螺旋形紙帶就可以看作是一個寬為 1 厘米的長條形紙帶。

既然整個長方形的面積是 90 平方厘米,那麼其中一個紙帶的面積就是 45 平方厘米,因而它的周長就是 (45+1)×2=92 厘米。

4、答案:

考慮距離最近的兩個間諜,顯然他們倆正互相盯著。

如果還有別人盯著他們倆中的任何一個,就表明有人同時被兩個人盯著,因此必然存在另一個人沒被人盯著;如果沒有別人在盯這兩個人,那麼我們就可以去掉這兩個人,這對其他人不會產生任何影響。

注意到廣場上的總人數是個奇數,因此如此繼續下去,要麼我們能在某一步找到一個沒被盯著的人,要麼最終就只剩下一個人,而他顯然沒有被任何人盯著。

填圖

5、答案:

(答案不唯一)

6、答案:

本文由超級數學建模編輯整理

資料來源於

《新知客》趣题专栏 2010.08

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