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既年輕又年長?難道這就是穿越版薛定諤的貓?

靈魂畫手

終於來臨

1905年,德國《物理學雜誌》上發表了一篇名為《論動體的電動力學》論文,這正是20世紀偉大的物理學家,愛因斯坦關於狹義相對論的第一篇論文。

狹義相對論的基本表述:如果坐標系K′是相對於坐標系K作勻速運動而無轉動的坐標系,那麼,自然現象對於坐標系K′的實際演變將與相對於坐標系K的實際演變一樣依據同樣的普遍定律。

一個新事物的誕生,必將會被人們所懷疑,尤其是當時的「以太」學說佔據了大部分物理學家的思想。

以太(Ether)(或譯乙太;英語:ether或aether)是古希臘哲學家所設想的一種物質,是一種被假想的電磁波的傳播媒質,被認為無所不在。

著名科學家笛卡兒認為,物體之間的所有作用力都必須通過某種中間媒介物質來傳遞,不存在任何超距作用。因此,空間不可能是空無所有的,它被以太這種媒介物質所充滿。以太雖然不能為人的感官所感覺,但卻能傳遞力的作用,如磁力和月球對潮汐的作用力。

因此,1911年,法國物理學家郞之萬一個有趣的思想實驗「雙生子佯謬」作為反對狹義相對論的證據被提出。

它的內容是:一對雙生子P和Q。P一直生活在地球,Q乘坐宇宙飛船去做星際旅行,最後返回地球,按照狹義相對論,運動的會變慢,P看Q運動,Q看P也在運動,那麼到底誰的鐘慢,誰更年輕呢?下面就讓我們一起進入雙生子的世界吧!

首先我們需要了解一下狹義相對論中的幾個概念。

一.相對性原理

相對性原理:所有的慣性參考系都是等價的。

抽象的來說明一下相對性原理。若一個質量為M的物體相對於參考系K作勻速直線運動,只要第二個參考系K′相對於K作勻速平移運動,則該質量相對於第二個參考系K′亦作勻速直線運動。

童鞋們,請腦補一下該畫面,當你和女友騎著馬,勻速馳騁在呼倫貝爾草原上,身處一個幸福快樂的慣性系中,而我站在草地上望著你們的歡快的背影,身處在一個孤獨寂寞的慣性系中,此時此刻,我的心裡……

唉,不多說了,可在天空一隻勻速飛翔的雄鷹卻按耐不住心中的寂寞,「嗷」的一聲叫了出來,響徹草原,此時我們三人同時仰望天空,注意,重點來了。你們二人看到這隻鷹是勻速飛行,我看到的雖然是以另一個速度和方向飛去,但仍是勻速運動。這就是相對性原理。

二.光速不變原理

真空中的光速相對於任何慣性系沿任一方向均為c。並且與光源運動無關。由此可見,光速是多麼有個性的一個物理量,我就是不變,你能拿我怎麼樣?

三.洛倫茲變換

洛倫茲變換的作用是:同一事件在兩個不同慣性系中的時空坐標變換關係。即這件事在A慣性系的坐標,在另一個慣性系B中的是多少,就可以通過洛倫茲變換求得。要得出該變換,就不得不請出物理學史上的一個偉大道具,火車。

同時,也是時候該展現一下靈魂畫手的畫功了。

一天,愛因斯坦乘火車去參加重要的會議,在車上,被B認了出來,出於禮貌,B對愛因斯坦微笑的點了下頭,可愛因斯坦卻伸出了他的舌頭,以作回應。(該表情也說明了學物理的男生,都很幽默。所以妹紙們,找男盆友就去物理系吧!以後你們的生活會充滿了笑聲。)

言歸正傳。該一經典時刻,也被站在地上的人A看到。設定,火車上的參考係為K,沿x軸方向前行。在愛因斯坦吐舌頭這一時刻,其時空坐標為(x,y,z,t),地上的人所在參考係為K′,其時空坐標為(x′,y′,z′,t′)。那麼洛倫茲先生,通過計算,就得到了如下公式:

該式就是著名的洛倫茲變換式。應用於求同一事件在不同參考系中的時空坐標。

式中γ(伽馬)稱為洛倫茲常數。

注意,接下來只要看到γ這個符號,都代表了上面等號右端的這個式子。且γ>1。

四.同時的相對性

為了說明這個相對論時空中的物理性質,我們依然用火車作為栗子。如圖:

我們假定一輛火車以速度v前進,火車的中點M處有一光源,在車頭有接收器Q,車尾由接收器P,火車所在參考係為K,地面的參考係為K′,火車上的人稱為A,地面上的人稱為B,並且地面的人站在M′點,在光源發出的時刻,M與M′兩點剛好重合。

由於A在以火車為參考系中,因此,他會看到這個光同時到達P和Q。其傳送時間相同。為車長與光速的比值。但地面上的人B,由於火車相對於他在前進。車頭離他原來越遠,車尾離他越來越近。所以他會看到,光先到車尾,再到車頭。

同時的相對性說明,某件事在一個參考系中是同時發生的,但是再另一個參考系中卻是不同時的,而是有先後順序。

五.鐘慢效應

So what』s this?

咳咳,這件事依舊發生在火車上。如圖:

一輛以速度V 前進的車子,車上有一對上下相對的鏡子,兩面鏡子之間的距離為D,當一道光在鏡子中上下反射。那麼對車裡的人來說,該過程所經歷的時間是:

但對於地面上的人來說,其過程就發生了變化。如圖:

該圖說明,下面的鏡子相對於車外面的人來說,位置發生了變化,所以光通過的路徑也就發生了變化,車頂上下垂直距離不變,但從下面的鏡子到上面的鏡子之間的光路距離則變為L。那麼車外的人所經歷的時間計算如下圖:

根據上面的驗證,可以說明,運動的鐘會變慢。就是相對論中的鐘慢效應。

先別奇怪,按照同樣的思路,可以證明,運動的尺子也會變短。設L?為地面上的尺子,L?為火車上的尺子,可以得到其比值為:

唉,對偉大的小愛同志,已經佩服到五體投地了。

六.雙生子佯謬

好了,說了這麼多,讓我們一起進攻主題,通過以上所學知識,就可以解釋其中的緣由。

讓我們再回顧一下雙生子佯謬的內容:

一對雙生子P和Q。P一直生活在地球,Q乘坐宇宙飛船去做星際旅行,最後返回地球,按照狹義相對論,運動的會變慢,P看Q運動,Q看P也在運動,那麼到底誰的鐘慢,誰更年輕呢?

畫出該物理過程示意圖:如下圖:

設P所用的參考係為K,由E到S出航途中,Q的參考係為K′,取出航方向為正,那麼K′相對K以速度v運動。E到S的距離為L。在由S到E的歸航途中,Q所用的參考係為K′′,K′′相對於K以速度-v運動。

先分析出航過程。假定在K系中由一系列對好的時鐘,設在E處有鍾C?,在S處由鍾C?,鍾C?和鍾C?開始都指0時刻。在K′系中有鍾C′隨著Q一起運動。

當Q由E到S,在P來看,Q的速度為v,行程為L,那麼在此過程中,P自己所經歷的時間為(C?或C?所走的時間):

從P來看Q由E到S所經歷的時間為,由上述的鐘慢效應可得:

那麼在P看來,Q經歷的時間短,所以Q會比自己年輕。

當Q從E到S,在他所處的慣性系K′中,P是以速度-v遠離自己。由同時的相對性,我們可以知道,對於P來說,鍾C?和鍾C?都是處在他所在的慣性系K中,且開始都指向0,雖然鍾C?離得也就幾光年而已。但在Q來說,這兩個鍾卻是同時指0。在前往S的出航中,他會發現鍾C?比鍾C?快了δ。通過計算,可以得到δ的值為:

所以當Q到達S時,雖然鍾C?上顯示的時間是和鍾C1相同,均為:

但是,Q卻覺得在他到達S的過程中,P所經歷的時間為,這裡用Т′P表示:

而Q自己在運動中,由上述的尺縮效應,E到S之間的距離已經縮短了γ倍,因此,在Q看來,到達S時,自己經歷的時間為:

所以在Q來看,出航過程中,他經歷的時間比P長,因此會覺得P比自己年輕。

可是事實卻是,當Q與P重逢時,自己確實比P年輕。那其中的緣由是什麼呢?

答案就是發生在Q到達S後,要返回E,必須減速,調頭,再加速到v,這個過程中,Q會發現P突然變老了。上面已經說過,由同時的相對性,對Q來說,這兩個鍾卻是同時指0。在前往S的出航中,他會發現鍾C?比鍾C?快了δ。當Q調頭之後,他從S到E,其所在慣性系也由K′轉到了K′′,那麼他會發現,鍾C?比鍾C?快了δ,所以,在減速,調頭,加速,這一過程中,Q發現P的實際年齡增大了2δ。而Q自己卻在很短的時間內完成了這一過程。可以忽略不計了。而再次加速到v返回到E的過程中,在Q看來,和出航一樣。

因此,由上所述。從P,Q分開到再次相聚,他們各自經歷的總時間為:

因此,重逢後,Q發現P比自己要大很多,這要取決於航行的距離和速度。

可怕的事情就發生了,銀河系的半徑約為五萬到十萬光年,乘坐飛船到銀河系中心再返回來,其過程均以兩倍重力加速度進行加速減速運動,那麼他所經歷的時間大概需要四十年。但地球上的人們卻經歷了六萬年…年…年……

前幾天才看完星際穿越,在影片結尾處,出現了這個鏡頭,庫珀經歷了種種波折,通過跨越維度,將黑洞的相關參數傳給了女兒墨菲,墨菲計算出了方程式,最終挽救了人類。可是當父女二人再次見面時,墨菲已然成了子孫成群的老太婆,而庫珀依舊很年輕,其年齡差距不是一般的小。這可以說是雙生子佯謬的最直接的效果。

本文作者:楊吉,男,江蘇蘇州,單身狗,25歲,晶元設計工程師,備考中科院理論物理研究生,今生唯一遺憾,沒能好好學習物理!

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