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新理論
需要時間的考驗
在之前的推送中，超模君介紹了數學天才阿貝爾，儘管阿貝爾數學成就極高，卻在生前沒有得到認可，他窮困潦倒，去世時只有27歲。
這讓超模君想起了另一位偉大的數學家——羅巴切夫斯基（1792年-1856年），他被稱為「幾何學中的哥白尼」。
逆境中奮鬥終生的勇士
哥白尼的故事大家都知道，稱羅巴切夫斯基為「幾何學中的哥白尼」肯定有跟哥白尼相似的地方吧！就讓超模君給大家講講羅巴切夫斯基的故事。
羅巴切夫斯基，是俄羅斯數學家、非歐幾何學創始人之一。非歐幾何（包括羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何）是人類歷史上一個富有創造性的偉大成果，不僅極大地推動了數學發展，而且對現代物理學、天文學以及人類時空觀念的革新都產生了深遠的影響。
但是新理論的出現，都是需要經受時間的考驗的。羅巴切夫斯基幾何（簡稱羅氏幾何）也不例外，它一開始並沒有引起重視，不但沒有被社會接受和稱讚，還遭到種種曲解和抨擊，直到羅巴切夫斯基去世12年後才被普遍認可。
質疑歐式第五公設
非歐幾何是憑空而來的嗎？不是的，其實它是由歐式幾何推出來的。羅巴切夫斯基試圖解決前人無法解決的歐氏第五公設問題，從失敗中吸取教訓，進而得到一套無矛盾的新幾何理論。那麼什麼是歐式第五公設呢？
歐氏第五公設問題是一道古代數學難題。公元前3世紀，希臘數學家歐幾里得（Euclid，約公元前330年-前275）集前人幾何研究之大成，編寫了數學發展史上具有極其深遠意義的數學巨著《幾何原本》（超模君家裡也「收藏」著一本），這部著作的重要意義在於，它是用公理法建立嚴密科學理論體系的最早典範。
於是超模君翻開這本書的第一卷，可以看到以下五條公設：
由任意一點到另外任意一點可以畫直線.
一條有限直線可以繼續延長.
以任意點為心及任意的距離可以畫圓.
凡直角都彼此相等.
同平面內的一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角的和，則這而直線經無限延長後在這一側相交.
其中的第5條，就是我們要討論的「歐式第五公設」。
超模君畫了個圖，有模友會疑惑：這不是顯然的嗎？
然而，有時候越是顯然的東西，越不知道怎麼去證明——數學家的思維。
數學家們認為第五公設是正確的，他們絞盡腦計，千方百計，卻都無法給出一個完美的證明。
1815年，羅巴切夫斯基動手研究平行線理論。剛開始，他也是依照前人的思緒，嘗試作出第五公設的證明。在一次次失敗後，他心想：證明第五公設正確性的方法總是行不通，會不會可能根本就不存在第五公設的證明呢？
1%的靈感有了，接下來就是99%的汗水。於是他就開始違背常理，開啟一條全新的探索真理的航海路線，去尋求第五公設不可證明的解答。正是沿著這一條路線，讓羅巴切夫斯基發現了「新大陸」。
其中，他用到了我們做證明題中經常使用的方法——反證法。羅巴切夫斯基不是直接對第五公設做出否定，而是對它的等價命題——普列菲爾公理：「過平面上直線外一點，只能引一條直線與已知直線不相交「作以否定，得到一個否定命題：」過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交」，並把這個否定命題和其它公理公設組合成新的公理系統，再進行邏輯推導。
雖然這個普列菲爾公理是超模君和大家都非常熟悉的，但是誰會想到對它加以否定呢？
在「玩」第五公設的過程中，羅巴切夫斯基得到一系列奇奇怪怪的命題，連他自己也不太相信。但是，經過嚴密驗證後，卻沒有發現它們之間有任何矛盾。於是，他斷定，這個「無矛盾」的新公理體系可以構成一種新的幾何，稱之為「想像幾何」（那時候還不叫非歐幾何）。這種「想像幾何」，很好地反駁了第五公設的可證性，也是對第五公設不可證的邏輯證明。
在冷嘲熱諷下奮鬥
1826年2月23日，在喀山大學物理數學系學術會議上，羅巴切夫斯基有些激動又忐忑地宣讀了他的論文：《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。出席這次學術會議的學者不乏著名的數學家、天文學家、科學院院士等。
可是，令他們大跌眼鏡的是，這位年輕的教授像是喝醉酒一般，說的全是一些「胡話」，諸如三角形的內角和小於180°，而且隨著邊長增大，內角和還無限變小，直至趨於零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。
這些命題不僅是天方夜譚，與有著兩千多年的輝煌歷史的歐氏幾何相矛盾，而且完全不符合人的日常經驗（試想超模君跟你說1+1不等於2你接受么）。你可以想像當時聽眾的表情，大多在搖頭或者目瞪口呆，即使是最寬容的聽眾也流露出不解與否定的神情。
論文宣講完畢後，沒有一點掌聲，也沒人願意去評論，會場鴉雀無聲。結束後，學術委員會還邀請西蒙諾夫、古普費爾和博拉斯曼三人對羅巴切夫斯基的論文進行書面鑒定。原本以為有戲，但是他們的態度是否定的，辦事拖沓，甚至還把論文弄丟了。真是可悲！
然而，羅巴切夫斯基並沒有輕易放棄他心愛的「想像幾何」，他拿起筆和紙，繼續孤獨地戰鬥，去完善他的幾何學理論。3年後，他寫出了《幾何學原理》的論文，這篇論文是上一篇的強化版，是繼承與超越。當這篇論文遞交給一些傑出數學家看時，卻依然沒有得到理解，甚至被指責和攻擊：
數學家奧斯特羅格拉茨基：「看來，作者旨在寫出一篇使人不能理解的論文。他達到自己的目的。羅巴切夫斯基的這篇論文謬誤連篇，因而不值得科學院的注意。」
還有兩人在《祖國之子》雜誌上發文對他進行人身攻擊。
俄國著名數學家布尼雅可夫斯基在《平行線》一書中，試圖通過經驗主義，來否定非歐幾何的存在合理性。
英國著名數學家莫爾甘：「我認為，任何時候也不會存在與歐幾里得幾何本質上不同的另外一種幾何。」
另一方面，就連非歐幾何的另一位發現者——德國的大數學家高斯也不願意公開支持他的研究工作。
不好意思放錯了
數學家高斯
高斯在數學界德高望重，這是大家都知道的。只要他出來說一句話：「我認為羅巴切夫斯基研究的幾何是無誤的！」就有可能減少各種社會輿論和壓力了，這樣也能加快學術界對非歐幾何的認同。
然而現實是骨感的，高斯懼怕頑固的保守派，他缺乏像羅巴切夫斯基那樣鬥爭的勇氣。他沉默了。這不僅限制了非歐幾何的發展，還助長了保守勢力對羅巴切夫斯基的攻擊。
晚年的羅巴切夫斯基更受打擊，他不僅在學術上不被理解，而且工作也沒了。大兒子的離世使他十分傷感。疾病纏身的他也沒停止對非歐幾何的研究。在雙目失明，臨去世前一年，他通過口授的方式，完成了最後一部巨著《論幾何學》。
直到羅巴切夫斯基去世後12年，義大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實現。這時，沉睡十多年的非歐幾何才開始獲得數學界的普遍關注和深入研究，羅巴切夫斯基的貢獻也由此得到學術界的高度讚美。
在追逐真理的征途上，一個人承受得住外界批判與抨擊並不難，可貴的是敢于堅持一生為其奮鬥。羅巴切夫斯基就是在逆境中奮鬥終生的勇士，稱他為「幾何學中的哥白尼」也是十分合理的。
羅氏幾何與歐式幾何的區別
說了這麼多，我們還不知道羅氏幾何是怎麼樣的。下面讓超模君來普及一下：
凡是不涉及到歐式第五公設的幾何命題，在歐氏幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。而依賴於平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立。我們可以通過一個表格來對比一下：
更有我們意想不到的：
（1）圓周長p不與半徑r成正比，而是更加迅速地增長，並符合下面的公式：
（2）羅巴切夫斯基的非歐三角公式：
模友們如果公式看累了，可以感受一下兩個模型：
羅巴切夫空間，也稱雙曲幾何空間
黎曼空間，也稱橢圓幾何空間
如果羅巴切夫斯基還活著，看到後人創立的美麗模型，他會多麼開心！
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